Définition :
Soit \(P\in{\Bbb K[X]}\) un polynôme non constant
On dit que \(P\) est irréductible si ses seuls diviseurs sont les polynômes constants et les polynômes de la forme \(aP\), où \(a\in{\Bbb K}^\star\)
Propriétés
Décomposition
La décomposition en polynômes irréductibles dans \({\Bbb C}[X]\) d'un polynôme du type \(rX^n+1\) est : $$\prod^{n-1}_{k=0}\left( X-\frac1re^{i\frac1n(\pi+2k\pi)}\right)$$
Caractérisation dans un anneau
Proposition :
Un polynôme irréductible de \(A[X]\) ne peut être que de deux formes :
Soit c'est un élément irréductible de \(A\) (de degré \(0\))
Soit c'est un polynôme primitif qui sont irréductibles dans \({\Bbb K}[X]\)
(Polynôme primitif)
Théorème :
Si \(P\) \(\in A[X]\setminus\{0\}\) est primitif, alors on a l'équivalence : $${{P\text{ irréductible dans }A[X]}}\iff{{ P\text{ irréductible dans }{\Bbb K}[X]}}$$